Les matrices aléatoires prédisent l’organisation de la matière

Légende de l'illustration : 
Figure : (à gauche) Sur ces images d’un gaz quantique fermionique, chaque point bleu correspond au signal émis par un atome unique. Pour un disque de rayon R donné, on peut compter combien de fois on observe 0, 1, 2… atomes à l'intérieur. (à droite) En répétant cette opération pour différentes valeurs de R, la distribution de probabilité du nombre de fermions en fonction du rayon est calculée. Les données suivent précisément les courbes données par un calcul issu de la théorie des matrices aléatoires.

Quel est le point commun entre la création de nouveaux éléments dans les étoiles, les variations des cours de la bourse, ou la transmission de données sans fil ? Pour décrire ces trois phénomènes, les physiciens ont recours à la théorie des matrices aléatoires : des grilles de nombres qui décrivent de manière statistique les phénomènes complexes, et permettent de leur trouver des points communs et de révéler des comportements universels. Cette théorie, initialement appliquée par Wigner à la description des niveaux d’énergie des noyaux atomiques lourds, a trouvé et trouve encore de multiples applications en physique, en biologie ou encore en neurosciences.

Dans un article paru dans Nature Communications, des chercheurs du Laboratoire Kastler Brossel (Unité mixte de recherche de l’ENS-PSL, de Sorbonne Université, du Collège de France et du Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS) ont montré par des mesures inédites que la théorie des matrices aléatoires se retrouve notamment dans un gaz d’atomes froids. Ces atomes (de lithium 6) sont des fermions : le principe de Pauli, règle fondamentale de la mécanique quantique, leur interdit strictement d’occuper le même état physique. Au-delà du fait qu’on ne peut donc pas trouver deux fermions identiques au même endroit, cette règle influence ce que les scientifiques appellent la statistique de comptage : pour un cercle de rayon donné, ce sont toutes les probabilités d’observer zéro, un, deux, trois… fermions à l’intérieur du cercle. Cette statistique est notoirement différente pour des fermions de ce qu’on obtiendrait pour des objets classiques (par exemple en renversant un sac de billes au sol). Si l’on sait depuis des décennies que la théorie des matrices aléatoires peut prédire ces statistiques, elles n'avaient encore jamais été mesurées directement, atome par atome.

Pour mesurer ces probabilités, les chercheurs ont utilisé un simulateur quantique dans lequel des nuages d’atomes sont refroidis à des températures proches du zéro absolu. La technique du microscope à gaz quantique, qu’ils ont précédemment développé pour ces systèmes, leur a permis de visualiser la position de chaque atome au sein du gaz. Ils ont ensuite pu compter les atomes pour en déduire les probabilités, avec une précision qui atteint le centième de pourcent. Ceci leur a permis de comparer les données à des calculs théoriques poussés, et de confirmer l’accord entre les prédictions de modèles de matrices aléatoires et l’agencement des fermions dans l’espace. En augmentant la température du gaz, ils ont également pu observer comment le mouvement thermique détruit les corrélations quantiques, et comment l’organisation du gaz redevient classique, établissant ainsi un lien entre les statistiques de comptage dans le régime quantique profondément dégénéré et celles des billes classiques dans la même expérience.

De manière inattendue, ils ont observé que les résultats théoriques de matrices aléatoires, qui s’appliquent aux fermions sans interaction, restent également pertinents pour décrire un gaz dans lequel deux familles de fermions interagissent entre elles fortement. Ces résultats montrent tout l’intérêt de ces mesures à l’échelle microscopique pour mieux comprendre les systèmes fortement corrélés.
 

Références : 
Universal Random Matrix Behavior of a Fermionic Quantum Gas, Maxime Dixmerias, Giuseppe Del Vecchio Del Vecchio, Cyprien Daix, Joris Verstraten, Tim de Jongh, Bruno Peaudecerf, Pierre Le Doussal, Grégory Schehr, Tarik Yefsah, paru dans Nature Communications.

Ces recherches ont été menées dans les laboratoires CNRS suivants :
•    Laboratoire Kastler Brossel (LKB, CNRS/Collège de France/ENS-PSL/Sorbonne Université)
•    Laboratoire de Physique Théorique et Modèles Statistiques (LPTMS, CNRS/Université Paris-Sud/Université Paris-Saclay)
•    Laboratoire Collisions Agrégats Réactivité, (LCAR, CNRS/Université de Toulouse)
•    Laboratoire de Physique de l’Ecole Normale Supérieure (LPENS, CNRS/ENS/PSL University/Sorbonne Université/Université Paris Cité)
•    Laboratoire de Physique Théorique et Hautes Energies (LPTHE, CNRS/Sorbonne Université)

Contact :
Tarik Yefsah
Chargé de Recherche au CNRS au Laboratoire Kastler Brossel (LKB)